Обчислювальні аспекти алгоритмів пошуку циклів великих довжин для нелінійних дискретних систем - Skrinnik, Ivan; Dmytryshyn, Dmytro; Stokolos, Alexander; Iacob, Ionut Emil (Праці Одеського політехнічного університету, 2019)
Динаміка навіть найпростіших нелінійних дискретних систем є досить складною. Вона включає в себе, як періодичні руху, так і квазіперіодичні або рекурентні. У таких системах майже завжди присутні хаотичні атрактори, природа яких на сьогодні досить добре вивчена, а саме, для широкого класу модельних рівнянь. У багатьох випадках хаотичні атрактори можна моделювати за допомогою періодичних рухів з великими періодами. Пошук таких атракторів і мінімальних інваріантних множин на них є важливим завданням прикладної математики – рішення використовуються в фізичних, хімічних, економічних науках, в теорії кодування, передачі сигналів і ін. Проте математичні результати, засновані на комп'ютерних обчисленнях, вимагають ретельної перевірки на верифікацію, так як самі обчислення проводяться наближено, а хаотичні системи дуже чутливі до похибок обчислень. Один з підходів вирішення завдань пошуку і верифікації циклів заснований на застосуванні методів стабілізації цих циклів. Ці методи можна розділити на дві групи: контроль із запізненням, який використовує знання про попередні стани системи, і прогнозує контроль, який використовує майбутні значення стану системи при відсутності управління. Мета роботи – показати ефективність методу усередненого прогнозуючого контролю пошуку циклів на деяких популярних в технічній літературі динамічних системах. А також сформулювати необхідні умови того, що знайдена орбіта є дійсно циклом.У статті розвиваються методи прогнозуючого контролю: використовується усереднений прогнозуючий контроль, і пропонуються алгоритми пошуку циклів, засновані на властивостях такого контролю. Відзначаються різні особливості роботи алгоритмів в залежності від властивостей вихідної дискретної системи. Запропоновано методи верифікації циклічних точок у вигляді трьох необхідних умов циклічності точки: перевірка малої нев’язки, перевірка періодичності і перевірка локальної асимптотичної стійкості циклу. Для демонстрації роботи алгоритму і чисельного моделювання були обрані відомі двовимірні дискретні системи, такі як Lozi, Henon, Ikeda, Elhadj-Sprott, Multihorseshoe, Prey-Predator. До істотних особливостей цих систем відносяться наявність циклів великих довжин з домінуючим мультиплікатором, тобто в двовимірному випадку з одним великим по модулю мультиплікатором, а другим по модулю меншим одиниці. Для такого класу систем запропонований алгоритм працює особливо ефективно. Розроблений метод можна використовувати і для дослідження залежності топологічних властивостей дискретних динамічних систем від зміни параметрів, вивчення наявності біфуркацій і їх типів.