Обчислювальні аспекти алгоритмів пошуку циклів великих довжин для нелінійних дискретних систем
DOI:
https://doi.org/10.15276/opu.2.58.2019.08Ключові слова:
нелінійні дискретні системи, стабілізація періодичних рішень, алгоритми пошуку циклів великих довжинАнотація
Динаміка навіть найпростіших нелінійних дискретних систем є досить складною. Вона включає в себе, як періодичні руху, так і квазіперіодичні або рекурентні. У таких системах майже завжди присутні хаотичні атрактори, природа яких на сьогодні досить добре вивчена, а саме, для широкого класу модельних рівнянь. У багатьох випадках хаотичні атрактори можна моделювати за допомогою періодичних рухів з великими періодами. Пошук таких атракторів і мінімальних інваріантних множин на них є важливим завданням прикладної математики – рішення використовуються в фізичних, хімічних, економічних науках, в теорії кодування, передачі сигналів і ін. Проте математичні результати, засновані на комп'ютерних обчисленнях, вимагають ретельної перевірки на верифікацію, так як самі обчислення проводяться наближено, а хаотичні системи дуже чутливі до похибок обчислень. Один з підходів вирішення завдань пошуку і верифікації циклів заснований на застосуванні методів стабілізації цих циклів. Ці методи можна розділити на дві групи: контроль із запізненням, який використовує знання про попередні стани системи, і прогнозує контроль, який використовує майбутні значення стану системи при відсутності управління. Мета роботи – показати ефективність методу усередненого прогнозуючого контролю пошуку циклів на деяких популярних в технічній літературі динамічних системах. А також сформулювати необхідні умови того, що знайдена орбіта є дійсно циклом.У статті розвиваються методи прогнозуючого контролю: використовується усереднений прогнозуючий контроль, і пропонуються алгоритми пошуку циклів, засновані на властивостях такого контролю. Відзначаються різні особливості роботи алгоритмів в залежності від властивостей вихідної дискретної системи. Запропоновано методи верифікації циклічних точок у вигляді трьох необхідних умов циклічності точки: перевірка малої нев’язки, перевірка періодичності і перевірка локальної асимптотичної стійкості циклу. Для демонстрації роботи алгоритму і чисельного моделювання були обрані відомі двовимірні дискретні системи, такі як Lozi, Henon, Ikeda, Elhadj-Sprott, Multihorseshoe, Prey-Predator. До істотних особливостей цих систем відносяться наявність циклів великих довжин з домінуючим мультиплікатором, тобто в двовимірному випадку з одним великим по модулю мультиплікатором, а другим по модулю меншим одиниці. Для такого класу систем запропонований алгоритм працює особливо ефективно. Розроблений метод можна використовувати і для дослідження залежності топологічних властивостей дискретних динамічних систем від зміни параметрів, вивчення наявності біфуркацій і їх типів.
Завантаження
Посилання
Dmitrishin D., Stokolos A., Iacob E. Average predictive control for nonlinear discrete dynamical sys-tems. 2019. arXiv:1906.02925. URL: https://arxiv.org/abs/1906.02925.
Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. New York: Addison-Wesley Publ. Co., Second Edition, 1993. 363 p.
Ott E., Grebodgi C., Yorke J.A. Controlling chaos. Phys. Rev. Lett.1990. 64. P. 1196–1199. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.64.1196.
Chen G., Dong X. From chaos to order: Methodologies, Perspectives and Application. Singapore: World Scientific, 1999. 776 p.
Zygliczy´nski P. Computer assisted proof of chaos in the Rössler equations and the Hénon map. Nonlin-earity. 1997. 10 (1). P. 243–252.
Galias Z. Rigorous investigations of Ikeda map by means of interval arithmetic. Nonlinearity. 2002. 15. P. 1759–1779.
Galias Z. Interval methods for rigorous investigations of periodic orbits. Int. J. Bifurc. Chaos. 2001. 11 (9). P. 2427–2450.
Lozi R. Can we trust in numerical computations of chaotic solutions of dynamical systems? Topology and Dynamics of Chaos. World Scientific Series in Nonlinear Science Series A. 2013.Vol. 84. P. 63–98. DOI: https://doi.org/10.1142/9789814434867_0004.
Yang D., Zhou J. Connections among several chaos feedback control approaches and chaotic vibration control of mechanical systems. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2014. 19. P. 3954–3968. DOI:10.1016/j.cnsns.2014.04.001.
Andrievsky B.R., Fradkov A.L. Control of Chaos: Methods and Applications. I. Methods. AvtomatikaI Telemekhanika. 2003, №5, 3–45.
Miller J.R., Yorke J.A. Finding all periodic orbits of maps using Newton methods: sizes of basins. Physica D. 2000. 135. P. 195–211. DOI: https://doi.org/10.1016/S0167-2789(99)00138-4.
Ypma T.J. Historical Development of the Newton-Raphson Method. SIAM Rev.1995.37 (4). P. 531–551. DOI: https://doi.org/10.1137/1037125.
Pyragas K. Continuous control of chaos by self controlling feedback. Phys. Rev. Lett. A. 1992. 170 (6). P. 421–428. DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(92)90745-8.
Vieira de S.M., Lichtenberg A.J. Controlling chaos using nonlinear feedback with delay. Phys. Rev. E. 1996. 54. P. 1200–1207. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevE.54.1200.
Dmitrishin D., Khamitova A. Methods of harmonic analysis in nonlinear dynamics. Comptes Rendus Mathematique. 2013. Vol. 351, Is. 9–10. P. 367–370.
Morgul O. Further stability results for a generalization of delayed feedback control. Nonlinear Dynam-ics. 2012. 70 (2). P. 1–8. DOI: 10.1007/s11071-012-0530-z.
Polyak B.T. Stabilizing chaos with predictive control. Automation and Remote Control. 2005. 66(11). P. 1791–1804.
Ushio T., Yamamoto S. Prediction-based control of chaos. Phys. Lett. A. 1999. 264. P. 30–35.
Dmitrishin D., Hagelstein P., Khamitova A., Stokolos A. Limitations of Robust Stability of a Linear Delayed Feedback Control. SIAM J. Control Optim. 2018. 56. P. 148–157.
Zhu J., Tian Y-P. Necessary and sufficient condition for stabilizability of discrete-time systems via de-layed feedback control. Phys. Lett. A. 2005. 343. P. 95–107.
Ushio T. Limitation of delayed feedback control in nonlinear discrete-time systems. IEEE Trans. Cir-cuits Syst. 1996. 43 (9). P. 815–816.
Sakai K. Diffeomorphisms with the shadowing property. J. Austral. Math. Soc. (Series A). 1996. 1. P. 396–399.
Kuntsevich A.V., Kuntsevich V.M. Estimates of Stable Limit Cycles of Nonlinear Discrete Systems. Journal of Automation and Information Sciences. 2012. Vol. 44, Is. 9. P. 1–10.
Sprott J.C. Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press, Oxford, UK, & New York, 2003. 507 p.
Lozi R. Un attracteur ́etrange du type attracteur de H ́enon. Journal de Physique. 1978. 39. 5–9.
H ́enon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor. Commun. Math. Phys. 1976. 50(1). P. 69–77.
Ikeda K. Multiple-valued Stationary State and its Instability of the Transmitted Light by a Ring Cavity System. Opt. Commun. 1979. 30. P. 257–261.
Elhadj Z., Sprott J.C. A two-dimensional discrete mapping with С multifold chaotic attractors. Elec. J. Theoretical Phys. 2008. 5(17). P. 1–14. URL: http://thor.physics.wisc.edu/chaos/elhadj/2dmap3/2dmap3.pdf.
Joshi Y., Blackmore D. Strange Attractors for Asymptotically Zero Maps. Chaos, Solitons & Fractals. 2014. Vol. 68. P. 123–138. DOI: https://doi.org/10.1016/j.chaos.2014.08.005.
Beddington J.R., Free C.A., Lawton J.H. Dynamic complexity in predator-prey models framed in dif-ference equations. Nature. 1975. 225. P. 58–60. DOI: 10.1038/255058a0.
Sauer T. Computer arithmetic and sensitivity of natural measure. Journal of Difference Equations and Applications. 2005. 11, No.7. P. 669–676. DOI: 10.1080/10236190412331334545.
Dmitrishin D., SkrinnikI., Lesaja G., Stokolos A. A new method for finding cycles by semilinear con-trol. Physics Letters A. 2019. 383. P. 1871–1878. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physleta.2019.03.013.
Shalby L. Predictive feedback control method for stabilization of continuous time systems. Advances in Systems Science and Applications. 2017. 17. P. 1–13.
